Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 = ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 = ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S △ DEF = ．其中正确的是 　　 （写出所有正确结论的序号）．

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

Answer 1

①②④．

试题分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得： = ，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED； ②由 = ，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2； ③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E= ； ④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S △ DEF = ． ①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴ = ，DG=CG， ∴∠ADF=∠AED， ∵∠FAD=∠DAE（公共角）， ∴△ADF∽△AED； 故①正确； ②∵ = ，CF=2， ∴FD=6， ∴CD=DF+CF=8， ∴CG=DG=4， ∴FG=CG﹣CF=2； 故②正确； ③∵AF=3，FG=2， ∴AG= = ， ∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= = ， ∴tan∠E= ； 故③错误； ④∵DF=DG+FG=6，AD= = ， ∴S △ ADF = DF?AG= ×6× = ， ∵△ADF∽△AED， ∴ ， ∴ = ， ∴S △ AED = ， ∴S △ DEF =S △ AED ﹣S △ ADF = ； 故④正确． 故答案为：①②④．