Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2 +bx+c经过A

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2 +bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D。 （1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5） ∵二次函数的图像经过点A（-1，0），B（4，5） ∴ 解得：b=-2，c=-3； （2）∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5） ∴直线AB的解析式为：y=x+1 ∵二次函数 ∴设点E（t，t+1），则F（t， ） ∴EF= = ∴当 时，EF的最大值为 ∴点E的坐标为（ ， ）。 （3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD 可求出点F的坐标（ ， ）， 点D的坐标为（1，-4） S 四边形EBFD =S △BEF +S △DEF = = ； ②（i）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m， ） 则有： 解得： ， ∴ ， ； （ii）过点F作b⊥EF交抛物线于 ，设 （n， ） 则有： 解得： ， （与点F重合，舍去） ∴ 综上所述：所有点P的坐标： ， ， 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形。