Question

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点（不包括射线的端点）.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究： （1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明；（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.

Answer 1

（1）PD=PE；（2）1， ， ；（3）ME="3MD"

试题分析：（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE； （2）分为点C与点E重合、CE= 、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明； （3）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系． （1）连接PC， 因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点， ∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°． ∴∠ACP=∠B=45°． 又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE， ∴∠DPC=∠BPE． ∴△PCD≌△PBE． ∴PD=PE； （2）△PBE是等腰三角形， ①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0； ②当BP=BE时，E在线段BC上，CE= ；E在CB的延长线上，CE= ； ③当EP=EB时，CE=1； （3）过点M作MF⊥AC，MH⊥BC   ∵∠C=90°， ∴四边形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH． ∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°， ∴∠DMF=∠EMH， ∵∠MFD=∠MHE=90°， ∴△MFD∽△MHE， 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．