Question

如图：△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE分别交于点O、E，连接EC. 小题

如图：△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE分别交于点O、E，连接EC. 小题1:求证：AD=EC；（4分）小题2:当∠BAC=90º时,求证:四边形ADCE是菱形；（3分）小题3:在(2)的条件下,若AB=AO,且OD= ,求菱形ADCE的周长.（5分）

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Answer 1

小题1:∵AE∥BC，DE∥AB  ∴四边形ABDE是平行四边形（1分） ∴AE=BD ∵D是BC中点 ∴DC=DB（2分） ∴AE="DC" ，AE∥DC ∴四边形ADCE是平行四边形（3分） ∴AD=EC（4分） 小题2:当∠BAC=90º时，AD是Rt△ABC斜边上的中线，（5分） ∴AD= （6分） ∴四边形ADCE是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）（7分） 小题3:∵ADCE是菱形 ∴对角线AC⊥DE且O是DE中点（8分） ∵ABDE是平行四边形 ∴AB="DE" 又已知AB="AO" ∴AO=DE=2DO=2  （10分） 在Rt△AOD中，可求出AD=  （11分） ∴菱形ADCE的周长为4 （12分）

（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形，即得AD=CE； （2）由∠BAC=90°，AD上斜边BC上的中线，即得AD=BD=CD，证得四边形ADCE是平行四边形，即证； （3）利用菱形和平行四边形的性质求出菱形一边的长度，然后再求出它的周长。