Question

若双曲线以椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 的长轴的两个端点为焦点，且经过点（ 4

若双曲线以椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 的长轴的两个端点为焦点，且经过点（ 4 2 ，3），求双曲线的标准方程，并求出它的离心率和渐近线方程．

Answer 1

椭圆 x 2 25 + y 2 9 =1 长轴的两个端点坐标为（-5，0），（5，0），…（1分） 所以所求双曲线的焦点为F 1 （-5，0），F 2 （5，0）， 设所求双曲线方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 ，…（2分） ∴a 2 +b 2 =25①…（3分） 又双曲线经过点（ 4 2 ，3），所以有 32 a 2 - 9 b 2 =1 ②…（4分） 由①②解得a 2 =16，b 2 =9                              …（8分） ∴所求双曲线的方程为 x 2 16 - y 2 9 =1 ．         ∵a 2 =16，b 2 =9∴c 2 =7                      ∴e= c a = 7 4 ， 渐近线方程：y=± 3 4 x                                …（12分）