Question

设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=2π3对称，它的周期是π，则以下

设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-π2＜φ＜π2）的图象关于直线x=2π3对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数（　　）（1）f（x）的图象过点（0，12） （2）f（x）的一个对称中心是（5π12，0）（3）f（x）在[π12，2π3]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A．4B．3C．2D．1

Answer 1

∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的周期是π，
∴ω=2，
又图象关于直线x=

2π

3

对称，则2×

2π

3

+φ=kπ+

π

2

，即φ=kπ?

5π

6

，k∈Z．
∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴取k=1得φ=

π

6

．
∴f（x）=3sin（2x+

π

6

）．
①∵f（0）=3sin

π

6

=

3

2

．
∴f（x）的图象过点（0，

1

2

）错误； 
②∵f（

5π

12

）=3sin（2×

5π

12

+

π

6

）=3sinπ=0．
∴f（x）的一个对称中心是（

5π

12

，0）正确；
③由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
取k=0，得

π

6

≤x≤

2π

3

．
∵[

π

12

，

2π

3

]?[

π

6

，

2π

3

]，
∴f（x）在[

π

12

，

2π

3

]上是减函数正确；
④∵φ=

π

6

＞0，
∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+

φ

ω

）是把y=3sinωx
向左平移

φ

ω

个单位得到，
则f（x）的图象向右平移

φ

ω

个单位得到函数y=3sinωx的图象．
∴命题④错误．