Question

设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f（x）=a1x?λ1+a2x?λ2+a3x?λ3的两个零点分别位于区间（

设a1，a2，a3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f（x）=a1x?λ1+a2x?λ2+a3x?λ3的两个零点分别位于区间（　　）A．（-∞，λ1）∪（λ1，λ2）内B．（λ1，λ2）∪（λ2，λ3）内C．（λ2，λ3）∪（λ3，+∞）内D．（-∞，λ1）∪（λ3，+∞）内

Answer 1

f（x）=

a1

x?λ1

+

a2

x?λ2

+

a3

x?λ3

=

a1(x?λ2)(x?λ3)+a2(x?λ1)(x?λ3)+a3(x?λ1)(x?λ2)

(x?λ1)(x?λ2)(x?λ3)

令g（x）=a₁（x-λ₂）（x-λ₃）+a₂（x-λ₁）（x-λ₃）+a₃（x-λ₁）（x-λ₂），
∵λ₁＜λ₂＜λ₃，
∴g（λ₁）=a₁（λ₁-λ₂）（λ₁-λ₃）＞0，
g（λ₂）=a₂（λ₂-λ₁）（λ₂-λ₃）＜0，
g（λ₃）=a₃（λ₃-λ₁）（λ₃-λ₂）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）内分别存在一个零点；
又函数g（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数g（x）的两个零点分别位于区间（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）内．
故函数f（x）=

a1

x?λ1

+

a2

x?λ2

+

a3

x?λ3

的两个零点分别位于区间（λ₁，λ₂），（λ₂，λ₃）内．
故选：B．