Question

已知函数f（x）=lnx+ax+2（a∈R），在x=12时取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若F（x）=λx2-3x+2-f（x）

已知函数f（x）=lnx+ax+2（a∈R），在x=12时取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若F（x）=λx2-3x+2-f（x）（λ＞0）有唯一零点，求λ的值．

Answer 1

（Ⅰ）依题意f′（x）=

1

x

+a．
因为在x=

1

2

时取得极值，所以f′（

1

2

）=2+a=0，则a=-2…（2分）
经检验，a=-2满足题意．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=lnx-2x+2则F（x）=λx²-lnx-x，
则F′（x）=

2λx2?x?1

x

．
令F'（x）=0，2λx²-x-1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有两异号根设为x₁＜0，x₂＞0．
因为x＞0，所以x₁应舍去．
当x∈（0，x₂）时，F'（x）＜0，F（x）在（0，x₂）上单调递减；
当x∈（x₂，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）在（x₂，+∞）单调递增．
当x=x₂时，F'（x₂）=0，F（x）取最小值F（x₂）．…（9分）
因为F（x）=0有唯一解，所以F（x₂）=0，
则

λx22?lnx2?x2＝0 2λx22?x2?1＝0

因为λ＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，
代入方程组解得λ=1．…（12分）