Question

如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于F．（1）当点G在线段B

如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于F．（1）当点G在线段BC上时，如图1，求证：DE-BF=EF；（2）当点G在线段CB的延长线上时，如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是______；（3）在（2）的条件下，连接AC，过F作FP∥GC，交AC于点P，连接DP，若∠ADE=30°，GB=433，求DP的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠AFB=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF＝∠ADE ∠AFB＝∠DEA＝90° AB＝DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE-BF=AF-AE=EF；

（2）解：如图2，线段DE、BF、EF之间的数量关系是DE+BF=EF．理由如下：
∵BF∥DE，DE⊥AG，
∴BF⊥AG，∠DAE+∠ADE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=180°-∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠ADE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF＝∠ADE ∠AFB＝∠DEA＝90° AB＝DA

，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴DE+BF=AF+AE=EF．
故答案为DE+BF=EF；

（3）解：∵AD∥GC，
∴∠G=∠EAD=90°-∠ADE=90°-30°=60°．
在△ABG中，∵∠ABG=90°，∠G=60°，GB=

4

3

3

，
∴AB=GB?tan∠G=

4

3

3

×

3

=4，AG=2GB=

8 3

3

．
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=

1

2

AB=2，AF=

3

BF=2

3

．
∵FP∥GC，
∴

AP

AC

=

AF

AG

，

AP

4 2

=

2 3

8 3 3

，
∴AP=3

2

．
在△APD中，∵AP=3

2

，AD=AB=4，∠DAP=45°，
∴DP²=AP²+AD²-2AP?ADcos∠DAP=18+16-2×4×3

2

×

2

2

=10，
∴DP=

10

．