Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）设⊙O交BC于点F，连接EF，若BC=9，CA=12．求EFAC的值．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OD，
∵DE⊥DB，∴∠BDE=90°．
∴BE是⊙O的直径．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD．
∴∠CBD=∠ODB．
∴BC∥OD．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴OD⊥AC．（1分）
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．（2分）

（2）解：设⊙O的半径为r，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12，
∴AB=15．（3分）
∵BC∥OD，
∴△ADO∽△ACB．
∴

AO

AB

=

OD

BC

，
∴

15-r

15

=

r

9

，
∴r=

45

8

，
∴BE=

45

4

，（4分）
又∵BE是⊙O的直径，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

BE

BA

=

45 4

15

=

3

4

．（5分）