Question

已知在△ABC中，AB=23，AC=2，BC边上的高AD=3．（1）求BC的长；（2）若有一个正方形的一边在AB上，另外两

已知在△ABC中，AB=23，AC=2，BC边上的高AD=3．（1）求BC的长；（2）若有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC和BC上，求正方形的面积．

Answer 1

根据条件显然有两种情况，如图，
（1）在图（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，
∴∠B=30°，∠C=60°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC=4．
在图（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，
∴∠BAD=60°，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD，
BC=AC=2．

（2）在图（3）中，设正方形边长为x，
∵

EG

AC

＝

BE

AB

，
∴

x

2

＝

2 3 ?x

2 3

，
解得x=3-

3

，
∴S_正方形=12-6

3

（当BC=4时），

在图（4）中，当BC=2时，
∵AC=2，
∴△ABC是等腰三角形，此时内接正方形h是△ABC的AB边上的高，
h=

22?( 3 )2

=1，
设正方形边长为x，由△HGC∽△ABC得，

HG

AB

=

hx

h

，即

x

2 3

＝

1?x

1

，
解得x＝

2 3

2 3 +1

，
∴S_正方形=

156?48 3

121

（当BC=2时）．