Question

如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(1,0),与x交于另一点C,与y轴交于B(0,3),对称轴是直线x=-1

顶点为M。
问题如下：

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Answer 1

第一问：
y=ax²+bx+c

∵与y轴交于B(0,3)，∴c=3,∴y=ax²+bx+3
∵与x轴交于A(1,0)，∴a+b+3=0
∵对称轴x=-1，∴-b/(2a) = -1，∴b=2a
∴a+2a+3=0，∴a=-1，b=-2
∴y = -x²-2x+3

第二问：
y = -x²-2x+3 = -(x+3)(x-1)
C（-3，0）
BC=√(3²+3²) = 3√2
BC所在直线斜率kBC=3/3 = 1
∵PDBC为平行四边形

∴PD平行BC，PD=BC
D在对称轴上，令D（-1，d），P（p，-p²-2p+3）
∵PD²=BC²，∴(p+1)²+(-p²-2p+3-d)²=18 ......(1)
∵kPD=kBC=-1，∴(-p²-2p+3-d)/(p+1)=1 ，即(-p²-2p+3-d)=(p+1)......(2)
将（2）代入（1）得：(p+1)²+(p+1)²=18，p=-4，或2
将p=-4和p=2分别带入（2）得：d=-2，或-8
即P点在对称轴左侧时，D点坐标（-1，-2）；P点在对称轴右侧时，D点坐标（-1，-8）

第三问：
顶点M（-1，4），令对称轴与x轴交点N（-1，0)
先求出△MBC的面积：

S△MBC=S△MNC + S梯形MNOB - S△OBC
= 1/2*CN*MN + 1/2*(MN+BO)*ON - 1/2*OB*OC
= 1/2*2*4 + 1/2*(4+3)*1 - 1/2*3*3 = 3
BC所在直线y=x+3
MC所在直线(y-4)/(x+1)=y/(x+3)，整理得：y=2x+6
令过原点的直线为y=kx，即x=y/k
将x=y/k代入y=2x+6可求得与MC交点E的纵坐标yE=6k/(k-2)
将x=y/k代入y=x+3可求得与BC交点F的纵坐标yF=3k/(k-1)
y=kx平分△MBC的面积
则S△CEF=1/2S△MBC=3/2
又：S△CEF = S△ECO - S△FCO = 1/2*OC*(yE-yF) = 1/2*3*(yE-yF) = 3/2
∴yE-yF=1
∴6k/(k-2) - 3k/(k-1) = 1
6k(k-1) - 3k(k-2) = (k-2)(k-1)
6k²-6k-3k²+6k=k²-3k+2
2k²+3k-2 = 0
(k+2)(2k-1)=0
k=1/2＞0舍去
∴k=-2
∴y=-2x