Question

已知抛物线y=ax 2 +bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-

已知抛物线y=ax 2 +bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），①如图1，当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；②如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

Answer 1

解：（1）由题意，得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ；

（2）①令y= ，解得x 1 =1，x 2 =3 ∴B（3， 0） 当点P在x轴上方时，如图1， 过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P， 易求直线BC的解析式为y=x-3，  ∴设直线AP的解析式为y=x+n， ∵直线AP过点A（1，0），代入求得n=-1。 ∴直线AP的解析式为y=x-1 解方程组 ，得 ∴点当点P在x轴下方时，如图1 设直线AP 1 交y轴于点E（0，-1）， 把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点P 2 、P 3 ， 得直线P 2 P 3 的解析式为y=x-5， 解方程组 ，得 ∴ 综上所述，点P的坐标为： ， ； ②∵ ∴OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=45° 设直线CP的解析式为 如图2，延长CP交x轴于点Q，设∠OCA=α，则∠ACB=45°-α ∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°-α ∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°-α）=α ∴∠OCA=∠OQC 又∵∠AOC=∠COQ=90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ ∴ ， ∴ ， ∴OQ=9， ∴ ∵直线CP过点 ， ∴9k-3=0 ∴ ∴直线CP的解析式为 。