Question

已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区

已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上单调，求a的取值范围．

Answer 1

（1）设函数f（x）=）=ax 2 +bx+c，∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x ∴c=1，且a（x+1） 2 +b（x+1）+c-（ax 2 +bx+c）=2x． ∴2a=2，a+b=0，解得a=1，b=-1， 故函数f（x）的表达式为f（x）=x 2 -x+1． （2）由于f（x）在区间[2a，a+1]上单调，且二次函数f（x）的图象的对称轴为 x=1， 故有 2a＜a+1 2a≥1 ，或 2a＜a+1 a+1≤1 ． 解得 1 2 ≤a＜1，或a≤0． 故a的取值范围为[ 1 2 ，1）∪（-∞，0]．