Question

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并 延长CO交⊙

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并 延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）弦长AB等于______（结果保留根号）；（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

Answer 1

（1）过点O作OE⊥AB于E， 则AE=BE= 1 2 AB，∠OEB=90°， ∵OB=2，∠B=30°， ∴BE=OB?cos∠B=2× 3 2 = 3 ， ∴AB=2 3 ； 故答案为：2 3 ； （2）连接OA， ∵OA=OB，OA=OD， ∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D， ∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D， 又∵∠B=30°，∠D=20°， ∴∠DAB=50°， ∴∠BOD=2∠DAB=100°； （3）∵∠BCO=∠A+∠D， ∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D， ∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°， 此时∠BOC=60°，∠BOD=120°， ∴∠DAC=60°， ∴△DAC ∽ △BOC， ∵∠BCO=90°， 即OC⊥AB， ∴AC= 1 2 AB= 3 ． ∴当AC的长度为 3 时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似．