Question

如图（1）正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不运动到点M，点C），以AB为直径

如图（1）正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不运动到点M，点C），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．（1）求四边形CDFP的周长；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC，FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H〔如图（2）〕．问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（其中△EFO顶点 E、F、O与△EHG顶点E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切线，（1分）
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE=FA，PE=PB，（1分）
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=6；（1分）

（2）如图1，连接OE，∵PF是⊙O的切线
∴OE⊥PF（1分）
在Rt△AOF和Rt△EOF中，
∵AO=EO，OF=OF，
∴Rt△AOF≌Rt△EOF，
∴∠AOF=∠EOF（1分）
同理∠BOP=∠EOP，
∴∠EOF+∠EOP=

1

2

×180°＝90°，（1分）
∵PF是⊙O的切线，
∴OE⊥PF，
∴Rt△EOF∽Rt△EPO
∴OE²=EP?EF，即OE²=PB?AF，（1分）即1²=x?y，
∴y=

1

x

，（1分）自变量x的取值范围是1＜x＜2；（1分）

（3）存在．理由如下：
如图2，
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，（1分）
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此时在Rt△AFO中，
y=AF=OA?tan30°=

3

3

，（1分）即x=

1

y

=

3

（1分）
解得：x＝

3

 ，y＝

3

3

，
∴当x＝

3

，y＝

3

3

时，△EFO∽△EHG．