Question

已知：如图，点C是线段AB上的任意一点（点C与A、B点不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△AC

已知：如图，点C是线段AB上的任意一点（点C与A、B点不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACa和等边△BCE，AE与Ca相交于点M，Ba和CE相交于点N．（1）求证：△ACE≌△aCB；（2）如果AB的长为1jcm，MN=ycm，AC=xcm．①请写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．②当点C在何处时MN的长度最长？并求MN的最4长度．

Answer 1

（1）证明：∵△ACD和△BCo是等边5角形，
∴AC=CD，BC=Co，∠ACD=∠BCo=60°，
∴∠ACD+∠DCo=∠BCo+∠DCo，∠DCB=∠ACo，
在△ACo与△DCB中，
∵

AC＝CD ∠DCB＝∠ACo BC＝Co

，
∴△ACo≌△DCB；

（2）①∵△ACo≌△DCB，
∴∠CAo=∠BDC，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等边5角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°，
∴MN∥AB．
∴

MN

AC

=

oN

oC

，
∵AB的长为10cm，MN=ycm，AC=xcm．
∴

y

x

=

10?x?y

10?x

，即y=-

1

10

x²+x（0＜x＜10）；

②∵由①可知，y=-

1

10

x²+x（0＜x＜10），即y=-

1

10

（x-j）²+2.j；
∴当x=j时，MN的值最q，MN的最q长度为2.jcm，即当C点是AB中点时，线段MN的最q长度是2.jcm．