Question

（2014?新泰市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB交AB于点D，点P在AB的延长线上，连结OE、AC、BC，已知

（2014?新泰市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB交AB于点D，点P在AB的延长线上，连结OE、AC、BC，已知∠POE=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若BD=2OD，且PB=12，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连结OC，如图，
∵∠POE=2∠PCB，
而∠POE=2∠A，
∴∠A=∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
而OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠A+∠OCB=90°，
∴∠OCB+∠PCB=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为R，则OC=R，OP=R+12，
∵BD=2OD，
∴OD=

1

3

R，
∵CE⊥AB，
∴∠ODC=90°，
∵∠COD=∠POC，
∴△COD∽△POC，
∴OC：OP=OD：OC，即R：（R+12）=

1

3

R：R，
∴R=6．