Question

如果函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1）的值．（2）已

如果函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1）的值．（2）已知f（3）=1且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．（3）证明：f（xy）=f（x）-f（y）．

Answer 1

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
∴令x=y=1，得f（1×1）=f（1）+f（1），可得f（1）=0；
（2）∵f（3）=1，
∴2=1+1=f（3）+f（3）=f（3×3）=f（9），
不等式f（a）＞f（a-1）+2，可化为f（a）＞f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴

a＞0 a?1＞0 a＞9(a?1)

，解之得1＜a＜

9

8

；
（3）∵x=

x

y

?y，∴f（x）=f（

x

y

?y）=f（

x

y

）+f（y），
由此可得f（

x

y

）=f（x）-f（y）．