Question

已知：如图，在直角坐标系xoy中，以x轴的负半轴上一点H为圆心作⊙H与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点

已知：如图，在直角坐标系xoy中，以x轴的负半轴上一点H为圆心作⊙H与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点．以C为圆心、OC为半径作⊙C与⊙H交于F、F两点，与y轴交于O、Q两点．直线EF与AC、BC、y轴分别于M、N、G三点．直线y＝34x+3经过A、C两点．（1）求tan∠CNM的值；（2）连接OM、ON，问：四边形CMON是怎样的四边形？请说明理由．（3）如图，R是⊙C中弧EQ上的一动点（不与E点重合），过R作⊙C的切线RT，若RT与⊙H相交于S、T不同两点．问：CS?CT的值是否发生变化？若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

Answer 1

解答：解：（1）连接CH，
则CH⊥EF，即∠CNM+∠HCB=90°．
而∠HCB=∠CBA，即∠CNM+∠CBA=90°．
又∵∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CNM=∠CAB．
由y=

3

4

x+3过A、C，则OC=3，AO=4，
即tan∠CNM=tan∠CAB=

3

4

；

（2）由GD?GC=GE?GF，GO?GQ=GE?GF，得GO?GQ=GD?GC，
即GO（GC+CQ）=（GO+OD）?GC，则GO=GC．
又∠CMG=∠CBA=∠ACO，
即GC=GM，则GO=GC=GM=GN，
故四边形OMCN是矩形；

（3）连接CR，过C作⊙H的直径CL，连接SL．
易证△CLS∽△CTR，即

CL

CT

=

CS

CR

，
则CS?CT=CL?CR=AB?OC=（4+

9

4

）×3=

75

4

．
故CS?CT的值不变为

75

4

．