Question

已知数列{an}中a1=1，an+1=2an+an2+bn+c（n∈N*）．a，b，c为实常数．（Ⅰ）若a=b=0，c=1，求数列{an}的

已知数列{an}中a1=1，an+1=2an+an2+bn+c（n∈N*）．a，b，c为实常数．（Ⅰ）若a=b=0，c=1，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a=-1，b=3，c=0．①是否存在常数λ，μ使得数列{an+λn2+μn}是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，请说明理由；②设 bn=1an+n?2n?1，Sn=b1+b2+b3+…+bn．证明：n≥2时，Sn＜53．

Answer 1

（I）当a=b=0，c=1时，a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，
∴an+1＝2×2n?1，
∴an＝2n?1．
（II）当a=-1，b=3，c=0时．a_n+1=2a_n-n²+3n，
①假设存在常数λ，μ使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列，
则an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2（a_n+λn²+μn），
化为a_n+1=2a_n+λn²+（μ-2λ）n+（-λ-μ）．
∴

μ?2λ＝3 λ＝?1 ?λ?μ＝0

，解得λ=-1，μ=1．
∴存在常数λ=-1，μ=1使得数列{a_n-n²-n}是等比数列．
②由①可得：a_n-n²+n=（1-1+1）×2^n-1=2^n-1，
∴a_n=n²-n+2^n-1．
∴b_n=

1

an+n?2n?1

=

1

n2

．
∵当n≥2时，

1

n2

＜

1

n(n?1)

＝

1

n?1

?

1

n

．
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1?

1

2

)+（

1

2

?

1

3

）+…+(

1

n?1

?

1

n

)
=2?

1

n

≤2?

1

2

=

3

2

＜

5

3

．