Question

证明当x>o时ln(1+x)<x

Answer 1

证明：设函数为f（x）=x-ln（x+1），则
∵要使f（x）成立，可得：
∴x+1＞0，x＞-1
∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞）
∵f（x）=x-ln（x+1）
∴f‘（x）=1-1/(x+1)
令f’（x）=0，可得：
1-1/(x+1)=0
x+1-1=0
解得：x=0
当x在（-1,0）范围内时，f（x）＜0
当x在[0，+∞）时，f‘（x）≥0
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数
∴f（x）min=f（0）=0+ln1=0
∴x-ln（x+1）＞0在（0，+∞）上恒成立
即：x＞ln（x+1）在（0，+∞）上恒成立
即为所证！

答题不易，望采纳~~~~~~~~

追问

这题呢

Answer 2

等同于1+x<e^x
1+x的斜率是1
e^x在x=0时斜率是1，大于0时斜率大于1
你画个图就知道了

Answer 3

证明：设f（x）=x-ln（1+x）（x＞0），
则 f′（x）=1-1/(1+x)=x/(1+x)

由x＞0，所以 x/(1+x)＞0 知f′（x）＞0，
所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（0）=0-ln1=0，即f（1）＞0，
所以x>0时，f（x）)>0
即x-ln（1+x）>0
ln（1+x）<x