Question

设Σ是z=1上x^2+y^2<=1部分上侧,计算下列第二类曲面积分

求三小问：

∫∫Σdxdy ∫∫Σ(x^2*z)dxdy ∫∫Σydzdx
方向向量我知道是（0，0，1）
第一问是面积所以是π，第三问因为方向向量为0所以结果直接0，第二问不清楚怎么做。
麻烦过程详细点，我数学基础不怎么好。谢谢！

Answer 1

第二问，
化成二重积分并用柱面坐标计算，
∑在xoy面的投影区域D：xx+yy《1，
原式=∫∫〔D〕xx*1dxdy
=∫〔0到2π〕dt∫〔0到1〕rrrcostcostdr
=(1/4)∫〔0到2π〕【1+cos2t】dt/2
=(1/8)*2π
=π/4。

追问

谢谢。这题我相通了。在问一下这题
∫∫Σydzdx+(x+z)dxdy，其中Σ为圆柱面x^2+y^2=a^2(0<=z<=1)外侧。
我是这样做的
原式等于 2∫∫Σ根号下a^2-x^2 dzdx+0 这第一步后面加零我是理解为图形对于xoy面的投影是一个圈所以等于零 不知道对不对 后面步骤就是算出来πa^2 和答案一样 但是感觉不对。 麻烦请教下正确方法。谢谢！

追答

是对的。