Question

三角函数的最值怎么求？详细解答……

Answer 1

一、函数法

对于形如y=af²(x)+bf(x)+c  (其中f(x)=sinx、cosx 或 tanx等)型的函数，可构造二次函数y=at²+bt+c利用在某一区间上求二次函数最值的方法求解。

• 求函数Y=cos²x+sinx在区间[-π/4,π/4]上的最值

解：令sinx=t    ∵x∈[-π/4,π/4]   ∴ t∈[-√2/2,√2/2]

∴y=cos²x+sinx=­­-sin²x+sinx+1=-t²+t+1=-2(t-1/2 )²+5/4

这是一个关于t (t∈ [-√2/2,√2/2]) 的二次函数，其图象是开口方向向下的抛物线的一部分

∴当t=1/2 即 x=π/6 时， ymax=5/4

当t=-√2/2即 x=-π/4时，ymin=(1-√2)/2

二、数形结合法

对于形如 y=(a+bsinx)/(c+dcosx)  型的函数，往往可用数形结合法来求最值。

• 求函数y=(√3+sinx)/(1+cosx)的最小值

  解：y=[sinx-(-√3)]/[cosx-(-1)]

  根据函数表达式的几何意义可知是圆x²+y²=1上的任一点B与定点A(-1,-√3)的连线斜率

  而显然可知当连线AB是圆的切线时，斜率最小，ymin=tan30°=√3/3

三、换元法

对于形如y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c  型的函数，可采用换元法求解

• 求函数y=(1+sinx)(1+cosx)的值域

  解：y=(1+sinx)(1+cosx)=1+sinx+cosx+sinxcosx

  令t=sinx+cosx，则t∈[-√2,√2]，sinxcosx=(t²-1)/2

  ∴原函数y=1+t+(t²-1)/2=(t+1)²/2

  ∴当t∈[-√2,√2]时，函数的值域为[0,(3+2√2)/2]

四、放缩法

• 已知x∈(0，π/2)，求函数y=3^(cos²x) +3^(sin²x)的最小值

  解：有均值不等式a+b≥2√(ab)有：

  y=3^(cos²x) +3^(sin²x)≥2√[3^(cos²x) *3^(sin²x)]=2√[3^(cos²x+(sin²x)=2√3

  当且仅当3^(cos²x)=3^(sin²x)即x=π/4是取等号

  ∴函数的最小值为ymin=2√3

五、向量法

• 求函数f(x)=3sinxcosx-4cos²x的最大值。

  解：∵f(x)=3sinxcosx-4cos²x=(3/2)sin2x-2cos2x -2

  设向量a=(-2，3/2)，向量b=(cos2x，sin2x)

  而向量a·向量b≤|向量a|·|向量b|

  ∴-2cos2x +(3/2)sin2x≤√[(-2)²+(3/2)²]*√(cos²2x+sin²2x) =5/2

  ∴函数-2cos2x +(3/2)sin2x -2≤1/2  ∴f(x)max=1/2

其实求三角函数和的最值的方式是不一而论的，对于每个人来说可能都有不尽相同的方式。

只要自己找到适合自己的解题方式就好，无需去想着别人的方法。

Answer 2

三角函数最值求法归纳：
　　一、一角一次一函数形式
　　即将原函数关系式化为：y=Asin（wx+φ）+b或y=Acos（wx+φ）+b或y=Atan（wx+φ）+b的形式即可利用三角函数基本图像求出最值.
　、、

　　二、一角二次一函数形式
　　如果函数化不成同一个角的三角函数,那么我们就可以利用三角函数内部的关系进行换元,以简化计算.最常见的是sinx+cosx和sinxcosx以及sinx-cosx之间的换元.例如：

　　三、利用有界性
　　即：利用-1＜cosx＜1和-1＜sinx＜1的性质进行计算：、

　　四、利用一元二次方程
　　即将原来的用三角函数表示y改写成用y表示某一个三角函数的形式,利用一元二次方程的有根的条件,即△的与0的大小关系,进行计算,这里可以参考《高中数学必修1 》中的基本初等函数的值域计算.
　　五、利用直线的斜率,、

　　六、利用向量求
　　希望能帮助你