Question

求xy'+y=a(xlnx)y^2的通解

Answer 1

(xy)'=a(lnx/x)(xy)^2

当y=0时，方程成立
当y≠0时，
d(xy)/(xy)^2=a(lnx/x)dx
∫d(xy)/(xy)^2=∫alnxd(lnx)
-1/xy=(a/2)*(lnx)^2+C
xy=-1/[(a/2)*(lnx)^2+C]
y=-1/[(ax/2)*(lnx)^2+Cx]，其中C是任意常数

Answer 2

解：∵xy'+y=a(xlnx)y^2
==>d(xy)/dx=a(lnx/x)(xy)^2
==>d(xy)/(xy)^2=a(lnx/x)dx
==>∫d(xy)/(xy)^2=a∫lnxd(lnx)
==>-1/(xy)=a(lnx)^2/2-C (C是积分常数)
==>xy(C-a(lnx)^2/2)=1
∴此方程的通解是xy(C-a(lnx)^2/2)=1。