Question

求三道三角函数问题答案

1、在△ABC中，角C是钝角，设x=sinC，y=sinA+sinB，z=cosA+cosB，则x，y，z的大小关系是2、在△ABC中，若2lg tanB=lg tanA+lg tanC，则B的取值范围是3、在三角ABC中，若b²=ac，则（A-C）+cosB+cos2B的值是

Answer 1

C是钝角，那么A+B是锐角，也就是A和B都是锐角
因为
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
所以
X-Y=sin(A+B)-sinA-sinB=sinA(cosB-1)+sinB(cosA-1)
A，B都是锐角，那么sinA,cosA,sinB,cosB就都是大于0小于1的
所以cosB-1和cosA-1就都是小于0的
那么X-Y〈0，，，也就是X〈Y--1
同理的话，
X-Z=sin(A+B)-cosA-cosB=cosA(sinB-1)+cosB(sinA-1)<0
也就是X〈Z----2
最后比较Y和Z的关系，因为Y和Z都是大于0的
那么
Y/Z=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)=[2sin(A+B)/2cos(A-B)/2]/[2cos(A+B)/2cos(A-B)/2]=tan(A+B)/2
因为C是钝角，A+B就是小于90度的，那么（A+B）/2就是小于45度的，
tan正切函数在第一象限又是单调递增的，
所以
Y/Z=tan(A+B)/2<tan45=1
也就是Y<Z----3
所以综合1，2，3三点来看，X，Y，Z的关系就是：X〈Y〈Z
[既然没学过和差化积的话,那么就求Y-Z的值好了,方法如下:
Y-Z=sinA+sinB-cosA-cosB=(sinA-cosB)+(sinB-cosA)
因为A+B<90度,那么就有A<90-B
所以sinA<sin(90-B)=cosB
同理,sinB<sin(90-A)=cosA
所以就有sinA-cosB<0;sinB-cosA<0
那么就是Y-Z<0
就是Y<Z了
同样有X<Y<Z的 tanA
tanB
tanC
=tan(A
B)(1-tanAtanB)
tanC
=tan(π-C)(1-tanAtanB)
tanC
=-tanC(1-tanAtanB)
tanC
=tanAtanBtanC
由题意，4tanBtanB=4tanAtanC
≤（tanA
tanC）^2
=(tanAtanBtanC-tanB)^2
=(tanBtanBtanB-tanB)^2
故4≤(tanB^2-1)^2
所以tanB≥根号3
所以60°≤B<90°
由已知
b2=ac
得
sin2B=sinAsinC
原式=cos(A-C)-cos(A+C)+cos2B
=2sinA
sinC+1-2sin2B=1