Question

已知数列{an}中，a1=1,当n大于等于2时，an+2SnSn-1=0​

已知数列{an}中,a1=1,当n>等于2时,an+2SnSn-1=0
（1）求证：数列{1/Sn}为等差数列
（2）求数列{an}的通项公式

Answer 1

an+2SnSn-1=0
Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0
化简得 1/sn -1/s(n-1)=2 所以1/sn为{1/Sn}是以1/S1=1为首项,2为公差的等差数列.

an+2Sn·S(n-1)=0(n≥2)
Sn-S(n-1)=an
所以
Sn-S(n-1)+2Sn·S(n-1)=0(n≥2)
两边同时除以Sn·S(n-1),得
1/S(n-1)-1/sn+2=0
即 1/Sn-1/S(n-1)=2,1/S1=2,{1/Sn}=2n
即 Sn=1/2n
S(n-1)=1/(2n-2)
相减,得
an=-1/2n(n-1)

Answer 2

an+2SnSn-1=0
Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0
化简得 1/sn -1/s(n-1)=2 所以1/sn为{1/Sn}是以1/S1=1为首项,2为公差的等差数列.

an+2Sn·S(n-1)=0(n≥2)
Sn-S(n-1)=an
所以
Sn-S(n-1)+2Sn·S(n-1)=0(n≥2)
两边同时除以Sn·S(n-1),得
1/S(n-1)-1/sn+2=0
即 1/Sn-1/S(n-1)=2,1/S1=2,{1/Sn}=2n
即 Sn=1/2n
S(n-1)=1/(2n-2)
相减,得
an=-1/2n(n-1)