Question

已知，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，∠ACD=30°，∠CAD=50°，求证BD=BC

永久有效！求大神！！！！

Answer 1

这题神了，看似简单不易解，一旦命题为真，里面有三个等腰三角形！

追问

这题是竞赛题！非常难！原题 一点问题没有！肯定正确！求过程啊！！！

追答

　　解题思路：用角度关系做不出来，因为它们条件互不独立，四个未知数，只有三个独立方程。

　　因此转而从正弦定理和余弦定理入手。

Answer 2

我验证了,命题为真,就是不知从哪下手证明

知道<ABD=20     <DBC=40

就是不知怎么算出来

Answer 3

有一个笨方法肯定能做，就是不知道你学过正弦定理和余弦定理吗。
设BC=a，三角形ABC三个角已知，可以求出AC，三角形ACD三个角已知，可求出边CD，
在三角形BCD用余弦定理，可以算出BD=a。
可以做出来，但是计算比较烦。
我后来算了一下，用些计算技巧还好，主要是得了解10度的正弦和余弦的值。
既然是竞赛题的话我这种方法应该可以。

我看到了楼下的那个人的计算过程，没问题，就是不用完全用计算器，那几个角的正弦和余弦可以做60度和10度的加减，又因为带平方，因此就剩cos10或sin10的关系式。cos10这个值是无法直接用实数的方法写出来的，不过计算剩下的式子正好等于0是没问题的。
补充：
如果会用三倍角公式的话可以通过30度角的正弦和余弦得出10度角正余弦的三次幂公式，应该就可以证明出结论了。可以不用计算器，只需记公式

这题用这种方法我已经算出来一次了，不是瞎说的。分你可以给楼下写出过程那位，但我想知道你还有什么不满意的地方。

Answer 4

又是uas731

是教师、学生、竞赛辅导员？我可什麽都不是！

 

 

Answer 5

sin50°sin60°/sin²80°-2cos70°=√3sin50°/2cos²10°-2cos70°=√3sin50°/(cos20°+1)-2cos70°=
(√3sin50°-2cos70°cos20°-2cos70°)/(cos20°+1)=(√3sin50°-2sin20°cos20°-2cos70°)/(cos20°+1)
=(√3sin50°-sin40°-2cos70°)/(cos20°+1)=(√3sin50°-cos50-2cos70°)/(cos20°+1)=
2(√3sin50°/2-cos50°/2-cos70°)/(cos20°+1)
=2(sin120°sin50°+cos120°cos50°-cos70°)/(cos20°+1)=2(cos(120°-50°)-cos70°)/(cos20°+1)=0
所以sin50°sin60°/sin²80°=2cos70°。
或更简单点：sin50°sin60°/sin²80°-2cos70°=(sin50°sin60°-2cos70°sin²80°)/sin²80°=
(sin50°sin60°-2sin20°cos²10°)/sin²80°=[sin50°sin60°-sin20°(cos20°+1)]/sin²80°=
(√3sin50°/2-sin40°/2-sin20°)/sin²80°=(sin120°sin50°+cos120°cos50°-cos70°)/sin²80°=
(cos(120°-50°)-cos70°)/sin²80°=0。所以sin50°sin60°/sin²80°=2cos70°。
结合一下正弦定理和余弦定理就出来了。真是集多人的智慧啊！分数应该给那位用CAD制图的。