Question

已知直线L1：4x-3y+6=0和直线L2：x=-1，抛物线y^2=4x上一动点p到直线L1和直线

已知直线L1：4x-3y+6=0和直线L2：x=-1，抛物线y^2=4x上一动点p到直线L1和直线L2的距离之和的最小值是

Answer 1

P在抛物线上，设P(y^2/4，y) P到L1距离d1=|y^2-3y+6|/√(4^2+3^2)=|y^2-3y+6|/5 ∵y^2-3y+6=y^2-3y+(3/2)^2-(3/2)^2+6=(y-3/2)^2+15/4＞0 (也可用判别式△=(-3)^2-4*6=9-24=-15＜0) ∴d1=(y^2-3y+6)/5 P到L2距离d2=|y^2/4+1|=y^2/4+1 距离之和d=d1+d2=(y^2-3y+6)/5+y^2/4+1 整理配方得 d=9/20*(y-2/3)^2+2 ∴，当y=2/3时，距离之和最小值=2