Question

一道入门的高等数学题，刚开始学高数。要用极限单调收敛准则证明并求极值。

Answer 1

证明：
因为：
x(n+1) = 1+{x(n)/[1+x(n)]} = [1+2x(n)]/[1+x(n)]，且x(1) =1 > 0
因此：
x(n+1) > 0
易知：
x(n+1) =1+{x(n)/[1+x(n)]} > 1
且：
x(n+1) <1+ [x(n)]/[x(n)] = 1+1 = 2
即：
1 < x(n+1) < 2
x(n+1) / x(n)
= [1+2x(n)]/[1+x(n)] / x(n)
= {[1/x(n)] +2 } / {[1/x(n)] +1 }
因为：
[1/x(n)] +2 > [1/x(n)] +1
所以：
x(n+1) / x(n) > 1
即：
x(n+1) > x(n)
因此：该数列单调递增且有上届
所以该数列极限必定存在
令： lim x(n) = A ，则：
由x(n+1) = 1+{x(n)/[1+x(n)]}，得：
A = 1+[1/(1+A)]
解得：
A = (√5-1)/2