Question

f(x)在x0点具有二阶导数，能否说明f(x)在x0的领域内二阶可导

f(x)在x0点具有二阶导数，能否说明f(x)在x0的领域内二阶可导

Answer 1

考虑f(x)=∫[0->x](t^2arctan w(t))dt，其中w是Weierstrass函数，处处连续（因此t^2arctan w(t)可积）但处处不可导。
则f'(x)=x^2arctan w(x)，f''(0)=lim[x->0](x^2arctan w(x)-0)/(x-0)=lim[x->0]xarctan w(x)=0（有界函数乘无穷小）。
但f'(x)在除0外的任何一点都不可导（否则w(x)=tan(f'(x)/x^2)可导）。