Question

等比数列与无穷级数

等比数列的前n项和是不是其在x=0处的泰勒级数展开

Answer 1

不是.
级数是无穷数列各项的和,而且这个和是否存在(即级数是否收敛)也不一定.级数收敛的充分必要条件是:limS(n)存在.
而等比数列的前n项和S(n)总是存在的.
例如:(1)对于等比数列{an}:1,1,…，1，…
前n项和S(n)=n,而级数1+1+…+1+…不存在.
(2)对于函数序列:1,x,x^2,…,x^(n-1),…
(其中x不等于1)
S(n)=(1-x^n)/(1-x),
而当|x|<1时,级数的和函数为1/(1-x),当|x|>=1时,级数的和函数不存在.