用微分中值定理证当x>0时,x>arctanx>x/(1 x^2)
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f(x)=arctanx
在[0,x]连续，(0,x)可导
所以根据拉格朗日中值定理
存在w∈(0,x)
使得f'(w)=(arctanx-arctan0)/(x-0)
又f'(w)=1/(1+w^2)
即1/(1+w^2)=arctanx/x
0<w<x
所以1>1/(1+w^2)>1/(1+x^2)
即1>arctanx/x>1/(1+x^2)，x>arctanx>x/(1+x^2)，
在[0,x]连续，(0,x)可导
所以根据拉格朗日中值定理
存在w∈(0,x)
使得f'(w)=(arctanx-arctan0)/(x-0)
又f'(w)=1/(1+w^2)
即1/(1+w^2)=arctanx/x
0<w<x
所以1>1/(1+w^2)>1/(1+x^2)
即1>arctanx/x>1/(1+x^2)，x>arctanx>x/(1+x^2)，
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