Question

高等数学里的邻域是什么意思？

设a和b是两个实数，且b>0，称数集为点a的b邻域，记为U(a,b)点a称为邻域中心，b称为邻域半径，书上就是这样定义的，哪位高手能给具体阐释一下啊，不懂什么意思

Answer 1

其实邻域的意思也就是一个极限区间，它以一个很小的区间（a-b,a+b）表示为点a的邻域，有些概念定义的使用范围只能在这个区间内才能成立。
b你可以看做是个无穷小，我们在求一个点的极限或者是一个函数在某个点是否连续时候，用的都是临域，从而考察这个点a的左极限和右极限。但实际解题过程中，不用那么繁琐的去考察他的临域，而是在条件成熟时直接带入了这个点a。
我刚考完研究生，临域这东西没什么必要死钻牛角尖，你只要把他的定义记住就行。
可能高数期末考试里会考到临域，但一般都是直接让你用一个临域求另一个临域的题，顶多是填空选择，不会是大题的。

Answer 2

这个定义其实指的是已a为定点的一个圆形区域，区域的大小决定于b值的大小，一般定义中都假定b值是一个无穷小的正数，U(a,b)只不过是记录这个连续范围的符号。

Answer 3

所谓点a的邻域是指这样一个集合：对任意的ε＞0，满足不等式0＜‖x-a‖＜ε的x的全体，叫点a的一个邻域，其中‖x‖表示x的范数，在实直线上就是x的绝对值。

Answer 4

高数中一点的邻域是指以该点为中心的一个区域，该区域的大小由所研究问题根据需要确定。
一点的邻域在高数中主要用到两种类型，一个是数轴上一点的邻域，一个是平面区域上点的邻域。
例如a是数轴上一个点，a的ε邻域为(a-ε,a+ε)。A(x,y)是xy平面上一点，A的ε邻域为以A(x,y)为圆心、ε为半径的圆域。
需要强调的是ε必须是正数，且ε≠0，即ε>0。邻域的大小是由ε的大小决定的。