【高二数学】设a,b>0,a+b=4，则根号(a+1)+根号(b+3)的最大值为多少?
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a>0，b>0，表达式有意义
b=4-a
b>0，4-a>0，a<4，又a>0，因此0<a<4
[√(a+1)+√(b+3)]²
=a+1+b+3+2√[(a+1)(b+3)]
=(a+b)+4+2√[(a+1)(4-a+3)]
=4+4+2√(-a²+6a+7)
=8+2√[16-(a-3)²]
a=3时，16-(a-3)²取得最大值。16-(a-3)²≤16
[√(a+1)+√(b+3)]²=8+2√[16-(a-3)²]
≤8+2√16
=16
√(a+1)+√(b+3)≤4
√(a+1)+√(b+3)的最大值为4
b=4-a
b>0，4-a>0，a<4，又a>0，因此0<a<4
[√(a+1)+√(b+3)]²
=a+1+b+3+2√[(a+1)(b+3)]
=(a+b)+4+2√[(a+1)(4-a+3)]
=4+4+2√(-a²+6a+7)
=8+2√[16-(a-3)²]
a=3时，16-(a-3)²取得最大值。16-(a-3)²≤16
[√(a+1)+√(b+3)]²=8+2√[16-(a-3)²]
≤8+2√16
=16
√(a+1)+√(b+3)≤4
√(a+1)+√(b+3)的最大值为4
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