Question

求级数收敛性，如图！请给出过程，谢谢！

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Answer 1

1、根式判别法：
lim u(n)^(1/n)=
n->+∞
lim (a^n/n^s)^(1/n)=
n->+∞
lim a*n^(-s/n)=a*
n->+∞
lim e^(-s/n*lnn)=a*
n->+∞
lim e^(-slnn/n)=a* （e的幂指数为∞/∞，用洛必达法则）
n->+∞
lim e^(-s*1/n/1)=a*e^0=a
n->+∞
故当0<a<1时收敛，当a>1时发散。
当a=1时，级数变为
∑ 1/n^s ，s>0
显然，当0≤s≤1时发散，当s>1时收敛。
2、通项u(n)=1/[n*n^(1/n)]
比例法和根式法算出来的极限值都是1，不能凑效。那么考虑用比较法，就是与1/n或k*1/n进行比较（k是某一个正数）：
当n->=∞时，有
lim n^(1/n)=
n->=∞
lim e^(1/n*lnn)=
n->=∞
lim e^(lnn/n)= （e的幂指数为lnn/n，属于∞/∞型，用洛必达法则：）
n->=∞
lim e^(1/n/1)= e^0=1
n->=∞
设f(n)=n^(1/n)，n属于Z+
则f'(n)=d[e^(lnn/n)]/dn=e^(lnn/n)*{[1/n*n-lnn]/n²}=n^(1/n)*(1-lnn)/n²
当n>e，也即n≥3时，f(n)单调递减。也就是说，当n≥3时，f(n)由3^(1/3)单调递减到1。也即，当n≥3时，有1≤f(n)<3^(1/3)。现在，就找到那个k了：当n≥3时，有
u(n)=1/[n*n^(1/n)]=1/n*1/f(n)>3^(-1/3)*1/n
+∞
原级数和=1+1/(2√2)+∑ 1/[n*n^(1/n)]
n=3
由于n≥3时，
u(n)=1/[n*n^(1/n)]>3^(-1/3)*1/n
故原级数是发散的。

Answer 2

第一个，n次根号极限为a，所有当a<1时收敛，当a>1时发散，当a=1时，s>1收敛，s<=1发散
第二个除以1/n的极限为1，所以敛散性相同，所有发散

Answer 3

追问

还有另一题

追答

刚才弄错了，第二题不对，但我还是不会第二题。

追问

第二个错了