Question

解分式方程的步骤

Answer 1

有的同学认为解分式方程的步骤与解一元一次方程（整式方程）类似，只是多写了一步“检验”，而解一元一次方程也有“检验”，只不过过程中没写出来。其实，这种理解是狭隘的、错误的，虽然解题步骤类似，但是其中蕴涵的意义却不同。
如“去分母”：解一元一次方程去分母的目的是使方程化为整系数的方程，便于求解
，亦即去掉分母的目的只是为了简单，我们完全可以不去分母直接求解；而解分式方程去分母的目的是为了转化为整式方程，可以说不去分母就不能求解。
又如“检验”：解一元一次方程的检验只是为了验算求得的结果是否正确，而解分式方程的检验则是为了判断求出来的根是原方程的根还是原方程的增根，它是“解”的一个步骤。
下面通过解分式方程来研究解分式方程的步骤。
例1
解分式方程：
-
=3
解：方程两边都乘以x+1，
得x+3-2=3(x+1).
解这个整式方程，得x=-1.
检验：将x=-1代入原方程，得分母x+1=0,所以x=-1不是原方程的根，而是原方程的增根。
所以原方程无解。
由上例可知，解分式方程可以分为以下几步：
1、“转化”（将分式方程转化为整式方程）；
2、解“整”（即解这个整式方程）；
3、“检验”；
4、结论。
可见，解整式方程仅是解分式方程的一步，而且把解整式方程的过程全省略了。这就说明解整式方程是解分式方程的基础，将同学们不会求解的分式方程转化为已会求解的整式方程。下面再举一例，巩固所学。
例2
解方程：
+
=
。
解：原方程化为
-
=
。
方程两边都乘以(x+3)(x-3),得
x-3-2(x+3)=
.
解这个方程，得x=-5.
检验：将x=-5代入原方程，得左边=-
=右边。
所以，x=-5是原方程的根。
温馨提示：
①
此方程在“四步”之前须做一些准备工作；
②
转化为整式方程后，可能还有分母，而这个分母是数，再解这个整式方程即可。
③
由此可以看出，解分式方程的去分母，不是单纯的“去分母”，而是为了转化为整式方程。

Answer 2

1. 把化分式为整式

   （1）等式两边同乘以一个可以将所有分母整除的数

   （2）去括号，合并同类项

   （3）注意分母中含有字母的，要使得其有意义
   

2. 解整式
   

Answer 3

解法
①去分母
方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号。
(最简公分母：①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂）
②移项
移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值；
③验根(解)
求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代入进去检验。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
★注意
（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
（3）増根使最简公分母等于0。
（4）分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0
归纳及例题
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
例题：
（1）x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
两边乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
-2x=3
x=3/-2
经检验，x=-3/2是方程的解
（2）2/（x-1）=4/（x^2-1）
两边乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
把x=1代入原方程，分母为0，所以x=1是增根。
所以原方程无解
（3）2/(x+3)=1/(x-1)
解：两边乘（x+3）（x-1）
2x-2=x+3
2x-x=3+2
x=5
经检验：x=5是方程的解
一定要检验！
例：
2x-3+1/(x-5)=x+2+1/(x-5)
两边同时减1/（x-5)，得x=5
代入原方程，使分母为0，所以x=5是增根
所以原方程无解！
检验格式：把x=a 带入最简公分母，若x=a使最简公分母为0，则a是原方程的增根。若x=a使最简公分母不为零，则a是原方程的根。
注意：可凭经验判断是否有解。若有解，带入所有分母计算：若无解，带入无解分母即可。

应用题
列分式方程解应用题的一般步骤是：审(找等量关系)-设-解-列-验(根)-答。
例题
南宁到昆明西站的路程为828KM，一列普通列车和一列直达快车都从南宁开往昆明。直达快车的速度是普通快车速度的1.5倍，普通快车出发2H后，直达快车出发,结果比普通列车先到4H，求两车的速度.
设普通车速度是x千米每小时则直达车是1.5x
由题意得：828/x-828/1.5x=6 ，(828*1.5-828)/1.5x=6 ，414/1.5=6x， x=46, 1.5x=69
答：普通车速度是46千米每小时，直达车是69千米每小时。
无解的含义：
1.解为增根。
2.整式方程无解。（如：0x不等于0。）