Question

什么是质数

Answer 1

质数又称为素数，是一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。

Answer 2

1不是质数。

质数(prime number)又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。

根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

拓展内容：

目前为止，人们未找到一个公式可求出所有质数。

2016年1月，发现世界上迄今为止最大的质数，长达2233万位，如果用普通字号将它打印出来长度将超过65公里。

尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。

Answer 3

质数(又称为素数）
1.就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的因数，这种整数叫做质数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任 何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；
又如，12 ＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以 外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。
[编辑本段]质数的概念
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。（1不是质数，也不是合数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。可以写成一串质数相乘的积。质数中除2是偶数外，其他都是奇数。
[编辑本段]质数的奥秘
质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。
有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。
说起质数就少不了哥德巴赫猜想，和著名的“1+1”
哥德巴赫猜想 ：(Goldbach Conjecture)
内容为“所有的不小于6的偶数，都可以表示为两个素数”
这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。“用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）
哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a＋b"，那么哥氏猜想就是要证明"1＋1"成立。
1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。
到了20世纪20年代，有人开始向它靠近。1920年，挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比6大的偶数都可以表示为（9+9）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想”。
1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9+9 ”。
1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7+7 ”。
1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6+6 ”。
1937年，意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”。
1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5+5 ”。
1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4+4 ”。
1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1+c ”，其中c是一很大的自然数。
1956年，中国的王元证明了 “3+4 ”。
1957年，中国的王元先后证明了 “3+3 ”和 “2+3 ”。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1+5 ”， 中国的王元证明了“1+4 ”。
1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1+3 ”。
1966年，中国的陈景润证明了 “1+2 ”[用通俗的话说，就是大偶数=素数+素数*素数或大偶数=素数+素数（注：组成大偶数的素数不可能是偶素数，只能是奇素数。因为在素数中只有一个偶素数，那就是2。）]。
其中“s + t ”问题是指: s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。
质数的性质
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)+1，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4294967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4294967297=641*6700417，并非质数，而是合数。
更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！
还有一种被称为“殆素数”的，意思是很像素数，著名数学家陈景润就使用了这个概念，他的“1+2”的“2”，就表示“殆素数”，实际上是一个合数。大家不要搞混了。严格地讲，“殆素数”不是一个科学概念，因为科学概念的特征是（1）精确性；（2）稳定性；（3）可以检验；（4）系统性；（5）专义性。例如，许多数学家使用了“充分大”，这也是一个模糊概念，因为陈景润把它定义为“10的50万次方”，即在10的后面加上50万个“0”。这是一个无法检验的数。
[编辑本段]质数的假设
17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、11、13、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
[编辑本段]质数表上的质数
现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
[编辑本段]【求大质数的方法】
研究发现质数除2以外都是奇数，而奇数除了【奇数*奇数】(或再加“*奇数”）都是质数。那么用计算机先把【奇数*奇数】(或再加“*奇数”）（比如9，15，21，25，27，33，35，39……）都求出来，再找奇数中上面没提到的那些数，那些数就是素数。
人们找出的几个超大质数中有遗漏，那么就可以用此方法求出那些遗漏的数，不过需要很长时间！
这对于“孪生素数”有帮助喔！
上面这个算法比较麻烦，对于求很大的素数效率低下，这个很大的素数可以用概率算法求。
求素数，请用《公理与素数计算》。这种方法用不着将所有奇数都写出来，而且计算出来的素数可以做到一个不漏。对于合数的删除，也不是涉及所有奇合数，删除是准确无误的，删除奇合数后剩余的全部是素数。如：对奇素数3的倍数的数进行删除，在整个自然数中只须删除一个数；对素数5的倍数的数进行删除，在整个自然数中只须删除2个数；对素数7的倍数的数进行删除，在整个自然数中只须删除8个数；以此类推，如果哪位老师能够将它用电脑编成程序，对计算素数有很大的帮助。
上面这个算法比较麻烦，对于求很大的素数效率低下，这个很大的素数可以用概率算法求。
求素数，请用《公理与素数计算》。这种方法用不着将所有奇数都写出来，而且计算出来的素数可以做到一个不漏。对于合数的删除，也不是涉及所有奇合数，删除是准确无误的，删除奇合数后剩余的全部是素数。如：对奇素数3的倍数的数进行删除，在整个自然数中只须删除一个数；对素数5的倍数的数进行删除，在整个自然数中只须删除2个数；对素数7的倍数的数进行删除，在整个自然数中只须删除8个数；以此类推，如果哪位老师能够将它用电脑编成程序，对计算素数有很大的帮助。”
[编辑本段]【质数的个数】
有近似公式： x 以内质数个数约等于 x / ln(x)
ln是自然对数的意思。
尚准确的质数公式未给出。
10 以内共 4 个质数。
100 以内共 25 个质数。
1000 以内共 168 个质数。
10000 以内共 1229 个质数。
100000 以内共 9592 个质数。
1000000 以内共 78498 个质数。
10000000 以内共 664579 个质数。
100000000 以内共 5761455 个质数。
......
总数无限。

Answer 4

质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。

中文名

质数

外文名

prime number

别名

素数

例子

2、3、5、7、11、13、17、19

讨论范围

自然数集

个数
 听语音

素数两性定理

6（x）+-1=（pP）6乘以完全不等数加减1是一对孪生素数。

其中，6（X-1=（P 6乘以阴性不等数减去1等于阴性素数；

6X）+1=P）6乘以阳性不等数加上1等于阳性素数。

（X=/=6NM+-（M-N）阴性不等数不等于阴性上下两式；

X）=/=6NM+-（N+M）阳性不等数不等于阳性上下两式。

（x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等数不等于阴阳上下四式产生的数。

（N，M两个自然数，N=《M）

素数分布规律

以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪形式渐渐增多。

孪生质数也有相同的分布规律。

以下15个区间内质数和孪生质数的统计数。

S1区间1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。）

S2区间73——216，有素数27个，孪生素数7对。

S3区间217——432，有素数36个，孪生素数8对。

S4区间433——720，有素数45个，孪生素数7对。

S5区间721——1080，有素数52个，孪生素数8对。

S6区间1081——1512，素数60个，孪生素数9对。

S7区间1513——2016，素数65个，孪生素数11对。

S8区间2017——2592，素数72个，孪生素数12对。

S9区间2593——3240，素数80个，孪生素数10对。

S10区间3241——3960，素数91个，孪生素数18对。

S11区间3961——4752素数92个，孪生素数17对。

S12区间4752——5616素数98个，孪生素数13对。

S13区间5617——6552素数108个，孪生素数14对。

S14区间6553——7560素数113个，孪生素数19对。

S15区间7561——8640素数116个，孪生素数14对。（以上没有校正，可能有误差。）

素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，pn加一是素数或者不是素数。

如果pn加一为素数，则pn加一要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

如果pn加一为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以pn加一不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。

　　

对于一定范围内的素数数目的计算

尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。

素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决。

在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。

存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004年[1]）

一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年）

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5)(中国潘承洞，1968年)

一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2)(中国陈景润)[2]

猜想
 听语音

哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？

孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？

斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？

是否有无穷多个的梅森素数？

在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？

是否存在无穷个形式如X2+1素数？

黎曼猜想

孪生素数是无限多的证明

关键词:完全不等数,SN区间,LN区间.

一。素数两性定理

大于3的素数只分布在6n-1和6n+1两数列中。（n非0自然数，下同）

6n-1数列中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；6n+1数列中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数。

阴性合数定理

6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（N M两个非0自然数，N=〈 M，下同）

6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）

在6n-1数列中只有这两种合数，余下就是阴性素数了，所以就有阴性素数定理

6NM+-（M-N）=/=x（阴性不等数）

6x-1=q（阴性素数）

阳性合数定理

6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）

6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）

在6n+1数列中只有这两种合数，余下就是阳性素数了，所以就有阳性素数定理

6NM+-（N+M）=/=X（阳性不等数）

6X+1=P（阳性素数）

二。与孪生素数相对应的完全不等数

完全不等数(X),它既不等于阴性上下两式；也不等于阳性上下两式。

(X)=/=6NM+-(M+-N)

则有6(X)+1=P 6(X)-1=q （p减1能被6整除的素数，q加1能被6整除的素数，下同）

一个完全不等数所产生的阴性素数q和阳性素数P就是一对孪生素数.

并且完全不等数与孪生素数是一一对应的.

三。阴阳四种等数在自然数列中的分布概况

6NM+（M-N）=阴性上等数6NM-（M-N）=阴性下等数

6NM+（N+M）=阳性上等数6NM-（N+M）=阳性下等数

为了搞清它们在自然数中分布情况，把四式中的N叫级别因子数，M叫无限因子数。

四种等数的每一个级别的最小等数都在6NN+-（N+N）范围。

每一级别的上等数相邻两等数距离是6n+1，在自然数列中比例是1/（6n+1），两种上等数每个级别的比例合计是2/（6n+1），（但实际是略少于这个比例因每一级别的底部都没有这个级别的上等数；下等数也一样的情况。）

每一级别的下等数相邻等数的距离是6n-1，在自然数列中的比例是1/（6n-1），阴阳两种下等数的每个级别的合计比例是2/（6n-1）。

每个级别的四种等数在自然数列中的比例是24N/[(6N+1)(6N-1)].

四。四种等数大小数列的互相渗透

自然数列中有阴性上等数数列，阴性的下等数数列，阳性上等数数列和阳性下等数数列。它们的级别有无限多，每一个级别的数列的等数都是无限多的。同一种等数级别不同的数列都是互相渗透而产生重叠，并以两级别的等数距离的乘积而严格地重叠的。在计算一种若干的级别的等数时用连乘式正好可以表示它的渗透重叠关系。四种等数数列之间都有互相渗透而重叠，只有同一级别阴阳上上数列.下下数列没有渗透.四种数列之间的渗透重叠不用计算也足够可以证明了。

五。与素数分布基本同步的SN区间

把自然数划分成12，24，36……以12为递增的一个个区间，这样的区间叫SN区间。SN区间与四种等数数列是同步的，即:

12（1+2+3+……+N）=6NN+6N

在这样的区间内包括N级别及以下的所有四种等数数列的等数，并没有比N级别大的数列等数，与四种等数的级别是完全同步的，所以与素数的分布也是同步的。

六。每个大于S8区间内都有8个以上的完全不等数

在每一个SN区间只有存在1至N级别的四种数列等数，每一级别等数的比例是可以确定，由于上下级别的渗透。就可以拿以下式来计算S8区间的完全不等数的至少个数。

12*8*11/35*95/143*251/323*479/575*779/899*1151/1295*1593/1763*2111/2303=8.2768

其他每一个SN区间可用这种方法计算.

随着区间的增大完全不等数计算的数量也会越来越多.以后都会超过8个.

七。误差分析

用最严格下取整的误差分析方法，将SN区间捆绑成1,2,4,8,16......2^(N-1)的LN区间.在每一个大于S8的SN区间计算都大于8个完全不等数,在每一个LN区间都有2^N-1级别等数数列, 每级级别有4种等数数列,每一级别一种等数筛一次误差极限是1 .每一个LN区间误差极限是4*(2^N-1).

8*2^(N-1)-4*(2^N-1)=4

最严格下取整后大于L4的区间仍然还有4个完全不等数。

八。总结

根据以上的论证，在大于S8区间每一个SN区间都有8个以上的完全不等数.

严格的下取整后，大于L4的每一个LN区间都还有多于4个的完全不等数以上的量。

LN区间是无限多的，完全不等数与孪生素数对是一一对应的，所以孪生素数也是无限多的。

这个证明期待着权威的表态。

性质
 听语音

质数具有许多独特的性质：

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（3）质数的个数是无限的。

（4）质数的个数公式 是不减函数。

（5）若n为正整数，在 到 之间至少有一个质数。

（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到 之间至少有一个质数。

（7）若质数p为不超过n( )的最大质数，则 。

（8）所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。

编程
 听语音

基本判断思路：

在一般领域，对正整数n，如果用2到 之间的所有整数去除，均无法整除，则n为质数。

质数大于等于2 不能被它本身和1以外的数整除

Python 代码：

from math import sqrt
def is_prime(n):
if n == 1:
return False
for i in range(2, int(sqrt(n))+1):
if n % i == 0:
return False
return True

Java代码：

1.
public static boolean testIsPrime2(int n){
if (n <= 3) {
return n > 1;
}

for(int i=2;i<n;i++){
if(n%i == 0)
return false;
}
return true;
}

/*优化后*/
public static boolean testIsPrime3(int n){
if (n <= 3) {
return n > 1;
}

for(int i=2;i<=Math.sqrt(n);i++){
if(n%i == 0)
return false;
}
return true;
}

2.
public class Prime {
public static void main(String[] args) {
int a = 17; //判断17是不是质数
int c = 0;
for (int b = 2; b < a; b++) {
if (a % b != 0) {
c++;
}
}
if (c == a - 2) {
System.out.println(a + "是质数");
} else {
System.out.println(a + "不是质数");
}
}
}

Php代码：

function isPrime($n) {//TurkHackTeam AVP production
if ($n <= 3) {
return $n > 1;
} else if ($n % 2 === 0 || $n % 3 === 0) {
return false;
} else {
for ($i = 5; $i * $i <= $n; $i += 6) {
if ($n % $i === 0 || $n % ($i + 2) === 0) {
return false;
}
}
return true;
}
}

C#代码：

using System;
　namespace 计算质数
　{
　 class Program
　 {
　 static void Main(string[] args)
　 {
　 for (int i = 2,j=1; i < 2100000000&&j<=1000; i++)//输出21亿内的所有质数，j控制只输出1000个。
　 {
　 if (st(i))
　 {
　 Console.WriteLine("{0,-10}{1}",j,i);
　 j++;
　 }
　 }
　 }
　 static bool st(int n)//判断一个数n是否为质数
　 {
　 int m = (int)Math.Sqrt(n);
　 for(int i=2;i<=m;i++)
{
if(n%i==0 && i!=n)
return false;
　 }
return true;
　 }
　 }
　}
　

C/C++代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const long long size=100000;//修改size的数值以改变最终输出的大小

long long zhishu[size/2];
void work(){//主要程序
zhishu[1]=2;
long long k=2;
for(long long i=3;i<=size;i++){//枚举每个数
bool ok=1;
for(long long j=1;j<k;j++){//枚举已经得到的质数
if(i%zhishu[j]==0){
ok=!ok;
break;
}
}
if(ok){
zhishu[k]=i;
cout<<"count"<<k<<' '<<i<<endl;
k++;
}
}
}

int main(){
freopen("zhishu.out","w",stdout);
cout<<"count1 2"<<endl;
work();
return 0;
}

质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。

中文名

质数

外文名

prime number

别名

素数

例子

2、3、5、7、11、13、17、19

讨论范围

自然数集

个数
 听语音

素数两性定理

6（x）+-1=（pP）6乘以完全不等数加减1是一对孪生素数。

其中，6（X-1=（P 6乘以阴性不等数减去1等于阴性素数；

6X）+1=P）6乘以阳性不等数加上1等于阳性素数。

（X=/=6NM+-（M-N）阴性不等数不等于阴性上下两式；

X）=/=6NM+-（N+M）阳性不等数不等于阳性上下两式。

（x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等数不等于阴阳上下四式产生的数。

（N，M两个自然数，N=《M）

素数分布规律

以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪形式渐渐增多。

孪生质数也有相同的分布规律。

以下15个区间内质数和孪生质数的统计数。

S1区间1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。）

S2区间73——216，有素数27个，孪生素数7对。

S3区间217——432，有素数36个，孪生素数8对。

S4区间433——720，有素数45个，孪生素数7对。

S5区间721——1080，有素数52个，孪生素数8对。

S6区间1081——1512，素数60个，孪生素数9对。

S7区间1513——2016，素数65个，孪生素数11对。

S8区间2017——2592，素数72个，孪生素数12对。

S9区间2593——3240，素数80个，孪生素数10对。

S10区间3241——3960，素数91个，孪生素数18对。

S11区间3961——4752素数92个，孪生素数17对。

S12区间4752——5616素数98个，孪生素数13对。

S13区间5617——6552素数108个，孪生素数14对。

S14区间6553——7560素数113个，孪生素数19对。

S15区间7561——8640素数116个，孪生素数14对。（以上没有校正，可能有误差。）

素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，pn加一是素数或者不是素数。

如果pn加一为素数，则pn加一要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

如果pn加一为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以pn加一不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。

　　

对于一定范围内的素数数目的计算

尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。

素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决。

在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。

存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004年[1]）

一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年）

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5)(中国潘承洞，1968年)

一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2)(中国陈景润)[2]

猜想
 听语音

哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？

孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？

斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？

是否有无穷多个的梅森素数？

在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？

是否存在无穷个形式如X2+1素数？

黎曼猜想

孪生素数是无限多的证明

关键词:完全不等数,SN区间,LN区间.

一。素数两性定理

大于3的素数只分布在6n-1和6n+1两数列中。（n非0自然数，下同）

6n-1数列中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；6n+1数列中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数。

阴性合数定理

6[6NM+（M-N）]-1=（6N+1）（6M-1）（N M两个非0自然数，N=〈 M，下同）

6[6NM-（M-N）]-1=（6N-1）（6M+1）

在6n-1数列中只有这两种合数，余下就是阴性素数了，所以就有阴性素数定理

6NM+-（M-N）=/=x（阴性不等数）

6x-1=q（阴性素数）

阳性合数定理

6[6NM+（N+M）]+1=（6N+1）（6M+1）

6[6NM-（N+M）]+1=（6N-1）（6M-1）

在6n+1数列中只有这两种合数，余下就是阳性素数了，所以就有阳性素数定理

6NM+-（N+M）=/=X（阳性不等数）

6X+1=P（阳性素数）

二。与孪生素数相对应的完全不等数

完全不等数(X),它既不等于阴性上下两式；也不等于阳性上下两式。

(X)=/=6NM+-(M+-N)

则有6(X)+1=P 6(X)-1=q （p减1能被6整除的素数，q加1能被6整除的素数，下同）

一个完全不等数所产生的阴性素数q和阳性素数P就是一对孪生素数.

并且完全不等数与孪生素数是一一对应的.

三。阴阳四种等数在自然数列中的分布概况

6NM+（M-N）=阴性上等数6NM-（M-N）=阴性下等数

6NM+（N+M）=阳性上等数6NM-（N+M）=阳性下等数

为了搞清它们在自然数中分布情况，把四式中的N叫级别因子数，M叫无限因子数。

四种等数的每一个级别的最小等数都在6NN+-（N+N）范围。

每一级别的上等数相邻两等数距离是6n+1，在自然数列中比例是1/（6n+1），两种上等数每个级别的比例合计是2/（6n+1），（但实际是略少于这个比例因每一级别的底部都没有这个级别的上等数；下等数也一样的情况。）

每一级别的下等数

Answer 5

质数又称为素数，是一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。