Question

高等数学，二元函数全微分 2xydx+x²dy是u(x，y)的全微分，求u(x，y)，我知道标准做

高等数学，二元函数全微分
2xydx+x²dy是u(x，y)的全微分，求u(x，y)，我知道标准做法是拿格林公式做，但是这个为什么不可以直接算呢，就是
du(x，y)=2xydx+x²dy
两端同时积分
u(x，y)=x²y+x²y=2x²y，但是这样求就不对了，但是为什么不对呢。

Answer 1

用全微分方法就可以了，步骤如下：

2xy dx + x² dy = 0
P = 2xy，∂P/dy = 2x
Q = x²，∂Q/dx = 2x
所以微分方程式恰当的。
微分方程通解为u(x，y) = c₁
已知∂u/∂x = 2xy，∂u/∂y = x²
u = ∫ 2xy dx = y∫ 2x dx = x²y + φ(y)，φ(y)是只关于y的函数
∂u/∂y = x² + φ'(y) = x²
即φ'(y) = 0 解得 φ(y) = c₁
所以方程通解是x²y = c₁