Question

这个特征值多项式怎么解啊？

Answer 1

第 2 行 -λ/2 倍， 加到 第 3 行，得 |A-λE| =
|2-λ -2 0|
| -2 1-λ -2|
| λ (λ^2-λ-4)/2 0|
|A-λE| = 2[(2-λ)(λ^2-λ-4)/2 + 2λ]
= (2-λ)(λ^2-λ-4) + 4λ
= -(λ^3-3λ^2-6λ+8)
= -(λ-1)(λ+2)(λ-4) = 0
λ= -2, 1, 4

追问

这样避免不了解三次方程啊

有没有什么更简单的法么？

追答

不可避免时，简单的三次方程可解。
例如本题 三次方程系数和是 0， 必有根 λ = 1 ， 用综合除法再得另 2 根。
看不出有简单解法。

追问

先观察得一根，然后凑出另一个二次因式这个我会。其实我主要郁闷的是，你拿到一个矩阵，你是怎么知道他是不是不可避免地必须得分解三次因式求解？ 有的我整半天发现压根就无法避免求三次因式，有的就可以。 求指点，怎么看出来？

追答

看矩阵很难。看高次方程还有些诀窍：
高次方程，系数和是 0， 必有根 1；
高次方程，偶次幂系数和与奇次幂系数和相等，
必有根 -1；
有理系数高次方程若有有理根 q/p，
则 q 是 常数项的因数，p 是最高次幂系数的因数。

追问

谢哥

对了，取不同的特征向量算出来的相似变换矩阵P是不同的是吧？