Question

x^3√(1-x^2)的原函数怎么求

Answer 1

解法一：
思路：根据分子分母的关系，直接变形化简求得：
I=-∫[x(1-x^2)-x]dx/√(1-x^2)
=-∫x(1-x^2)dx/√(1-x^2)+ ∫xdx/√(1-x^2)
=-∫x√(1-x^2)dx-(1/2) ∫d(1-x^2)/√(1-x^2)
=(1/2) ∫√(1-x^2)d(1-x^2)-√(1-x^2)
=(1/3)√(1-x^2)^3-√(1-x^2)+c
END
思路2：利用不定积分的分部积分方法求得
解法二：
思路：利用不定积分的分部积分方法求得：
I=∫x^2*xdx/√(1-x^2)
=-(1/2)∫x^2d(1-x^2)/√(1-x^2)
=-∫x^2d√(1-x^2)
=-x^2√(1-x^2)+ ∫√(1-x^2)dx^2
=-x^2√(1-x^2)-∫√(1-x^2)d(1-x^2)
=-x^2√(1-x^2)-(2/3)√(1-x^2)^3+c
END
思路3：利用三角函数的代换关系求得
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解法三：
思路：利用三角函数的代换关系求得。
设x=sint，则cost=√(1-x^2),此时：
I=∫sin^3td(sint)/√(1-sin^2t)
=∫sin^3t*cost dt/cost
=∫sin^3 t dt
=∫sint(1-cos^2 t)dt
=∫sintdt-∫sintcos^2 tdt
=-cost+∫cos^2tdcost
=-cost+(1/3)cos^3 t+c
=-√(1-x^2)+ (1/3)√(1-x^2)^3+c.

Answer 2

求x√(1-x^2)的原函数就是求x√(1-x^2)的不定积分
令1-x^2=t，则dt=-2xdx，于是
x√(1-x^2)的不定积分=√t的不定积分=(2/3)*[t^(3/2)]+c=(2/3)*[(1-x^2)^(3/2)]+c
综上x√(1-x^2)的原函数就是(2/3)*[(1-x^2)^(3/2)]+c(c是常数)。