Question

线性代数，第六题，为什么必有公共非零解

Answer 1

A是2×6型矩阵，所以AX=0的解系至少有6-2=4个线性无关的基础解向量。
B是3×6型矩阵，所以BX=0的解系至少有6-3=3个线性无关的基础解向量。
假设AX=0和BX=0无公共非零解，那么组成AX=0的解系的基础解向量和组成BX=0的解系的基础解向量必须线性无关。
也就是至少有4+3=7个向量线性无关。
而A是2×6型矩阵，B是3×6型矩阵，所以AX=0和BX=0的解向量都是6维向量
而6维向量组成的向量组的的最大无关组最多只有6个，不可能有7个以上。
所以AX=0和BX=0必然有公共非零解。

Answer 2

把A，B合成一个5×6的矩阵C，Cx=0有非零解，因此Ax=0，Bx=0有公共非零解。