Question

分部积分法，上面这个式子到下面这个式子，求过程

Answer 1

∫e^(Rt/L)*sinwtdt=-1/w*∫e^(Rt/L)*d(coswt)
=-1/w*[e^(Rt/L)coswt-∫coswt*e^(Rt/L)*R/L*dt]
=R/(wL)∫e^(Rt/L)*coswtdt-e^(Rt/L)coswt/w
=R/(wL)*1/w∫e^(Rt/L)d(sinwt)-e^(Rt/L)coswt/w
=R/(w²L)[e^(Rt/L)sinwt-∫e^(Rt/L)*R/L*sinwtdt]-e^(Rt/L)coswt/w
=R/(w²L)e^(Rt/L)sinwt-e^(Rt/L)coswt/w-R²/(w²L²)*∫e^(Rt/L)*sinwtdt]
解出来化简即得结果。
事实上还可以用欧拉公式来求解：
∫e^(Rt/L)*(coswt+isinwt)dt=
∫e^(Rt/L)*e^(iwt)dt=
∫e^[(R/L+iw)t]dt=
1/(R/L+iw)*e^[(R/L+iw)t]=
(R/L-iw)/(R²/L²+w²)*e^(Rt/L)*(coswt+isinwt)=
[(R/L*coswt+wsinwt)+i(R/Lsinwt-wcoswt)]*e^(Rt/L)
分别对应实部和虚部即得结果。