Question

将4,5,6,……,43,44,45排成一行,满足:从左到右第K个位置的数能被K整除,那么一共有多少种不同的排法？

请哪位老师帮忙解答一下，谢谢！

Answer 1

位置号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ... 42
显然从第23位开始，各位数字只能填位置号自身。
因此第12～21位，各位数字只能填位置号自身
第6、7、8位，各位数字也只能填位置号自身
由于43是素数，因此只能填在第1位。
44可以填在第2、4、11、22位
45可以填在第3、5、9、15位

而素数5只能填第5位
素数11只能填第11位
则
剩下未确定数字的位置号是
2、3、4、9、10、22
以及未填的数字是：
4、9、10、22、44、45

显然此时45只能填在第9位
则数字9只能填在第3位

而10只能填在第10位
即
剩下未确定数字的位置号是
2、4、22
以及未填的数字是：
4、22、44

因此可以这样填：
位置号
2、4、22
分别对应数字：
22、4 、44
或

44、4、22
或

4、44、22

这3种情况。

综上所述，只有3种排列，符合要求：即

43、22、9、4 、5、6、7、8、45、10、11、。。。20、21、44、23、24、...、42
或

43、44、9、4、5、6、7、8、45、10、11、。。。20、21、22、23、24、...、42
或

43、4、9、44、5、6、7、8、45、10、11、。。。20、21、22、23、24、...、42