如图1,设正方形为ABCD,四条弧的交点为E、F、G、H
思路,阴影面积=大正方形的面积-四个空白的面积;
每个空白的面积=△ABE的面积-两个楔形的面积;
每个楔形的面积=扇形ADE的面积-△ADE的面积。
(1)先证∠ADE=30°,即θ=π/6,如图2
连CE、DE。因为CE=DE=x=CD,所以△CDE是等边三角形,所以∠CDE=60°,所以∠ADE=90°-60°=30°
(2)计算扇形ADE的面积
S扇ADE =(1/2)*θ*AD² =(1/2)* (π/6)*x² =πx²/12
(3)计算△ADE的面积
S△ADE=(1/2)*AD*DE*sin30°=(1/2)*x*x*sin30°=x²/4
(4)计算一个小楔形AE的面积
S楔=S扇ADE - S△ADE=(πx²/12)-(x²/4)=[(π-3)/12]x²
(5)计算△ABE的面积
前面已证出△CDE是边长为x的等边三角形,可算出其CD边上的高为√3x/2,
所以△ABE的AB边上的高为h=x-(√3x/2)=[1-(√3/2)]x,所以
S△ABE =(1/2)*AB*h=(1/2)*x*[1-(√3/2)]x=[(2-√3)/4]x²
(6)计算一个空白的面积
S空白=S△ABE- 2S楔=[(2-√3)/4]x²-2*[(π-3)/12]x²=[(12-2π-3√3)/12]x²
(7)最后求阴影面积
阴影面积=正方形面积-4*S空白=x²-4*[(12-2π-3√3)/12]x²=[(2π/3)+√3-3]x²
A为任意两个“四分之一圆”所重叠的面积。