Question

很难的平面几何问题，真的很难，求解！

正方形，里边是4个四分之一圆，求阴影面积，正方形 边长X

Answer 1

如图1，设正方形为ABCD，四条弧的交点为E、F、G、H

思路，阴影面积=大正方形的面积-四个空白的面积；

每个空白的面积=△ABE的面积-两个楔形的面积；

每个楔形的面积=扇形ADE的面积-△ADE的面积。

(1)先证∠ADE=30°，即θ=π/6，如图2

连CE、DE。因为CE=DE=x=CD，所以△CDE是等边三角形，所以∠CDE=60°，所以∠ADE=90°-60°=30°

(2)计算扇形ADE的面积

S扇ADE =(1/2)*θ*AD² =(1/2)* (π/6)*x² =πx²/12

(3)计算△ADE的面积

S△ADE=(1/2)*AD*DE*sin30°=(1/2)*x*x*sin30°=x²/4

(4)计算一个小楔形AE的面积

S楔=S扇ADE - S△ADE=(πx²/12)-(x²/4)=[(π-3)/12]x²

(5)计算△ABE的面积

前面已证出△CDE是边长为x的等边三角形，可算出其CD边上的高为√3x/2，

所以△ABE的AB边上的高为h=x-(√3x/2)=[1-(√3/2)]x，所以

S△ABE =(1/2)*AB*h=(1/2)*x*[1-(√3/2)]x=[(2-√3)/4]x²

(6)计算一个空白的面积

S空白=S△ABE- 2S楔=[(2-√3)/4]x²-2*[(π-3)/12]x²=[(12-2π-3√3)/12]x²

(7)最后求阴影面积

阴影面积=正方形面积-4*S空白=x²-4*[(12-2π-3√3)/12]x²=[(2π/3)+√3-3]x²

Answer 2

阴影面积为（2π - 3）x^2 - 4A
A为任意两个“四分之一圆”所重叠的面积。

Answer 3

可以有积分做，不过这样是不是把简单问题复杂化了

Answer 4

如图