Question

求函数:f(x)=(x-1) ³√x² 的极值，求解题详解过程，谢！

Answer 1

解：f(x)=x*x^(2/3)-x^(2/3)=x^(5/3)-x^(2/3)
f'(x)=5/3*x^(2/3)-2/3*x^(-1/3)=[5/3*x-2/3]*x^(-1/3)
借用前面的导数推导，可以得到x=0,
x=2/5时出现极值
当x=0时出现局部最大值为
f（0）=0
当x=2/5时出现局部最小值
f（2/5）=(2/5-1)*(2/5)^(2/3)=
-
3*2^(2/3)*5^(-1/3)
≈
-0.32573
值得一提的是，本题的定义域是（-∞，∞），值域也是（-∞，∞），所以函数的最大值和最小值都不是上述两点，上述两点只是局部极值。

Answer 2

求函数f(x)=(x-1)
³√x²
的极值
解：令f'(x)=x^(2/3)+(2/3)(x-1)x^(-1/3)=[3x+2(x-1)]/[3x^(1/3)]=(5x-2)/[3x^(1/3)=0
得唯一驻点x=2/5；x<2/5时f'(x)<0；x>2/5时f'(x)>0；故x=2/5是极小点。
极小值=f(2/5)=(2/5-1)(2/5)^(2/3)=-(3/5)[(2/5)^(2/3)]
无极大值。