Question

复变函数rez2<1的有界性和连通性

复变函数rez2<1的有界性和连通性

Answer 1

设z=x+iy，其中x和y都是实数。

那么z²=x²-y²+2xyi，

所以Re z²=x²-y²，

那么Re z²<1就意味着x²-y²<1.

这是一个二元二次不等式，我们先来看等号的情况，即x²-y²=1.

容易看出这是一个双曲线，其中焦点位于x轴上，如下图所示：

然后我们再来判断取小于号时的情况。显然当x=0，y=0的时候是满足不等式的，因此不等式表示的区域包含了坐标原点。所以不等式表示的区域就是夹在双曲线的两支中间，上下连通的区域。从图上可以看出，这个区域是无界的，单连通域。