Question

画问号的那一行不理解，这一题对被积函数y的曲面积分不是将它化为x,z

画问号的那一行不理解，这一题对被积函数y的曲面积分不是将它化为x,z的函数吗，可要分y大于等于0和小于0两种情况啊，为什么答案就直接写出来了，是怎么来的？？

Answer 1

根据对称性得来。积分曲面是圆柱面，关于z轴对称，每一个方向，都有一个相反方向的相等的量与他抵消，因此，积分为0.

追问

我说的不是第一行，是第二行的问号那个等式不懂，而且你那解释也不对啊，对z+1在xy上的曲面积分等于0是因为曲面投影在xoy面的图形是个线，面积为0,所以积分才为0而不是什么对称吧

追答

你的也是一种可以的解释，从垂直性讨论。我从对称性讨论，也是成立的，而且正好可以说明下面的问题。

看形式，应该是0才对。但是，积分曲面是有方向的，这里说是外侧，可以考虑，以向外的法线方向，为dx，dy的正方向（dx与dy与法线的夹角锐角，视为正）。前后两式，代表圆柱面的y>0,y<0两半，两半对应点（中心对称）的dx，相对于外侧来说，方向相反。如此，就是负负得正，后项也等于前一项。
如果将前后两个dx，看成同样的（包括符号），就一半是外侧，一半是内侧，不是题目的意思了。

追问

哦，好像明白了，你的意思是对y的曲面积分分为两部分来算，一个是y大于0时，再加上y小于0时的，也就是负的根号下4-x方，但由于y小于0时此时处在积分域右侧，所以它的方向余弦小于0，所以原本要加上负的根号下4-x方，就变成了减负的根号下4-x方，负负得正，才有了两倍结果而不是为0了

追答

对。

其实表达也有问题。代数本来就是形式主义的，应该保持形式上的一致性和正确性。