Question

高数微分方程问题！！！

求微分方程x^2y'+xy=y^2的通解

Answer 1

解 把所给方程变形为
dy/dx+y/x=y²/x² ①
令y/x=u 则y=ux
dy/dx=u+x*du/dx 代入①式得
u+x*du/dx+u=u²
分离变量 du/(u²-2u)=dx/x
两边积分 1/2 * ln|(u-2)/u| =ln|x|+lnC1
ln|(y-2x)/y|=ln|x²|+lnC1²
(y-2x)/y=Cx² (C=C1²)
化简得 y=2x/(1-Cx²)
即所求微分方程通解为：y=2x/(1-Cx²)
可以将其代入到原方程，发现方程两边相等
于是所求通解符合题意

Answer 2

y=ax
ax^2+ax^2=a^2*x^2
a=2
y=2x

Answer 3

两边同时除以x^2,得
y'+y/x=(y/x)^2
设y/x=u

y'=u+x*du/dx

带回去得

u+x*du/dx+u=u^2

x*du/dx=u^2-2u

所以 du/(u^2-2u)=(1/x)dx

∫{[1/(u-2)]-1/u}du=2ln|x|

ln|u-2|-ln|u|=ln(x^2)

|1-2x/y|=ln(x^2)

Answer 4

解：设y/x=t
则原方程就变为xdt/dx+2t=t² ==>xdt/dx=t(t-2)
==>dt/(t(t-2))=dx/x
==>(1/(t-2)-1/t)dt=2dx/x
==>ln|(t-2)/t|=2ln|x|+ln|C| (C是积分常数)
==>(t-2)/t=Cx²
==>(y-2x)/y=Cx²
==>y-2x=Cx²y
==>y=2x/(1-Cx²)
故原微分方程的解是 y=2x/(1-Cx²) (C是积分常数).