Question

不定积分问题？

题目如图，有2个问题：
第一步为什么要乘以二分之一，∫xf'(2x)dx直接等于∫xdf(2x)不香吗
为什么求f(2x)的时候，不把2x看做一个整体，直接代入sinx/x求导，而是要先求f(x)，然后再把2x作为一个整体代入到f(x)中？我整体代入了（图2），求大神看下是哪个步骤出错了呢？还是说就不能整体代入

求大神解答

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Answer 1

(1) ∫xf'(2x)dx = (1/2)∫xf'(2x)d(2x) = (1/2)∫xdf(2x) = ......
(2) 问题出在 ： f(x）的原函数 是 sinx/x, 不等同于 f(2x）的原函数 是 sin2x/(2x) !
前者： f(x) = (sinx/x)' = (xcosx-sinx)/x^2, f(2x) = (2xcos2x-sin2x)/(4x^2).
后者： [sin2x/(2x)]' = (1/2)(2xcos2x-sin2x)/x^2 与 f(2x) 根本不同 ！

追问

• 为什么d后面要跟2x呢，∫xf'(2x)dx直接等于∫xdf(2x)不行吗
  

• 答案求出来是错的，我有写步骤，但是拍照上传以后显示不了

追答

令 u = 2x，则 x = u/2, dx = du/2, ∫f'(2x)dx = ∫f'(u)(1/2)du = (1/2)∫df(u),
∫f'(2x)dx 不等于 ∫df(2x）！
第 2 问就按书上方法。

追问

那为什么第二问，不能作为整体代入求导呢

或者说整体代入求导时，哪个步骤算错了呢

追答

追加图片打不开。可将图片加到题目中（不是追问中），或另行提问。

追问

图片加到题目里了

追答

见修改后的解答。

追问

我知道他俩计算结果的确不同，但我不理解的是为什么 f(x）的原函数不等同于 f(2x）的原函数，明明求出f(x)以后可以把2x代进去

追答

原函数求导得出 f(x) 以后，用 2x 代换 x， 是 f(2x),
原函数先用 2x 代换 x，再求导，已证明不是 f(2x)。

追问

好的，谢谢

谢谢